1. सरलीकरण (Simplification)

सरलीकरण (Simplification)

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सरलीकरण में BODMAS तथा बीजगणितीय सूत्रों के द्वारा प्रश्नों को हल किया जाता है।

B	O	D	M	A	S
↓	↓	↓	↓	↓	↓
Bracket	Of	Division	Multiplication	Addition	Subtraction
( )	का	÷	×	+	-

 

यदि किसी प्रश्न में उपरोक्त सभी प्रक्रियाएँ हों, तो सबसे पहले Bracket कोष्ठक, '()' कोष्ठक के बाद का “को”, उसके बाद भाग (÷), उसके बाद गुणा (x), उसके बाद जोड़ (+) को तथा अंत में घटाव (-) को हल करते हैं।

 

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विभाज्यता का नियम

Rule-1. 2 से विभाज्यता का नियम-

यदि किसी संख्या के इकाई अंक 0, 2, 4, 6 तथा 8 में से कोई एक हो, तो वह संख्या 2 से पूर्णतः विभाजित होती है। 

जैसे-442, 6820, 53898

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Rule-2. 3 से विभाज्यता का नियम-

यदि किसी संख्या के सभी अंकों का योग 3 से पूर्णतः विभाजित हो, तो वह संख्या 3 से पूर्णतः विभाजित होती है। 

जैसे-68325, 3 से पूर्णतः विभाजित है क्योंकि इस संख्या के सभी अंकों का योग 24 है जो 3 से पूर्णतः विभाजित है।

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Rule-3. 4 से विभाज्यता का नियम-

यदि किसी संख्या के दायीं ओर के दो अंक शून्य (0) हो या 4 से पूर्णतः विभाजित हो तो वह संख्या 4 से पूर्णतः विभाजित होती है।

जैसे-46800, 748948

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Rule-4. 5 से विभाज्यता का नियम-

यदि किसी संख्या का इकाई अंक या तो शून्य (0) हो या 5 हो तब वे संख्याएँ 5 से पूर्णतः विभाजित होती है।

जैसे- 5890, 478535 

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Rule-5. 6 से विभाज्यता का नियम-

यदि कोई संख्या 2 और 3 दोनों से पूर्णतः विभाजित हो, तो वह संख्या 6 से पूर्णतः विभाजित होती है।

जैसे-36, 72, 6708

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Rule-6. 7 से विभाज्यता का नियम-

यदि कोई संख्या लगातार 6 बार हो, तो वह संख्या 7 से पूर्णतः विभाजित होती है।

जैसे- 888888, 555555, 333333

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Note : यह संख्या 11 और 13 से भी पूर्ण विभाजित होती है।

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Rule-7. 8 से विभाज्यता का नियम-

यदि किसी संख्या के अंतिम तीन अंक या तो शून्य (0) हो या 8 का गुणज अर्थात् 8 से पूर्णतः विभाजित हो, तो वह संख्या 8 से पूर्णतः विभाजित होती है।

जैसे- 625000, 1462208

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Rule-8. 9 से विभाज्यता का नियम-

यदि किसी संख्या के सभी अंकों का योग 9 का गुणज अर्थात् 9 से पूर्णतः विभाजित हो, तो वह संख्या 9 से पूर्णतः विभाजित होती है।

जैसे- 31878 का योग (3 + 1 + 8 + 7 + 8) = 27 है, जो 9 से पूर्णतः विभाजित है अतः 31878, 9 से पूर्णतः विभाजित है।

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Rule-9. 11 से विभाज्यता का नियम-

यदि किसी संख्या के विषम और सम स्थानों पर के अंकों के योग का अंतर शून्य हो या उसका अंतर 11 से विभाजित हो तो वह संख्या 11 से पूर्णतः विभाजित होती है।

जैसे- 625614 में सम के अंकों का योग = 1 + 5 + 6 = 12

विषम के अंकों का योग 4 + 6 + 2 = 12 

दोनों का अंतर = 12 – 12 = 0 

अत्तः संख्या 625614, 11 से पूर्णतः विभाजित है।

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जब संख्या घात (Power) के रूप में हो तब इकाई अंक ज्ञात करना

Q. जब आधार का इकाई अंक 0, 1, 5 या 6 हो, तो संख्या का इकाई अंक वही होगा। 

जैसे-756²²⁵ का इकाई अंक होगा-

उत्तर:- दिये गये संख्या 756²²⁵ के आधार का इकाई अंक 6 है।

अतः 756²²⁵ का इकाई अंक 6 होगा।

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Q. जब आधार का इकाई अंक 2, 3, 4, 7, 8 या 9 हो, तो घात (power) में 4 से भाग देते हैं और जितना शेष प्राप्त होता है उतना ही आधार के इकाई अंक का घात होता है।

जैसे-74¹⁵⁵ का इकाई अंक होगा-

 

उत्तर:- यहाँ घात 155 है। अतः 155 में चार से भाग देंगे। 

 

         शेष = 3 प्राप्त हो रहा है 

अतः आधार का इकाई अंक 4³ = 64 

 इकाई अंक 4 होगा ।

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Q. जब आधार का इकाई अंक 2, 3, 4, 7, 8 या 9 हो, तो घात में 4 से भाग देने पर घात पूरी तरह विभाजित हो जाता है तो आधार के अंक का घात 4 हो जाता है। 

जैसे- 2⁸ का इकाई अंक क्या होगा ?

               

अतः आधार का इकाई अंक 2⁴ = 16

             इकाई अंक 6 होगा।

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Q. (xⁿ - 1), (x + 1) से विभक्त होगा जब n का मान सम (even) हो।

जैसे-(2⁶ - 1), (2 + 1) से विभक्त होगा- 

(2⁶ - 1) = 64 – 1 = 63 

63 ÷ 3 = 21

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Q. (xⁿ + 1), (x + 1) से विभक्त होगा जब n का मान विषम (odd) हो।

जैसे- (2⁵ + 1), (2 + 1) से विभक्त होगा- 

(2⁵ + 1) = (32 + 1) = 33 

33 ÷ 3 = 11

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उदाहरण

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1. 7589-? = 3434

(a) 4242

(b) 1123

(c) 11023

(d) 4155

Ans:- (d)

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2. निम्न में प्रश्न चिह्न (?) की जगह क्या आना चाहिए? 

3712 + 1108 + 404 = ?

(a) 6224

(b) 4224

(c) 5224

(d) 5324

Ans:- (c) 

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3. 8888 + 888 + 88 + 8 = ?

(a) 9784

(b) 9792

(c) 9072

(d) 9872

Ans:- (d) 

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4. 6283 x 71 = ?

(a) 456093

(b) 446093

(c) 44000

(d) 42582

Ans:- (b) 

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5. 2056 × 987 = ?

(a) 1936372

(b) 2029272

(c) 1896172

(d) 1923472

Ans:- (b)

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6. 3897 x 999 = ?

(a) 3883203

(b) 3893103

(c) 3639403

(d) 3791203

Ans:- (b) 

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7. ₹ 700 को A, B व C में इस तरह विभाजित किया जाय कि A को B से आधा और B को C से आधा मिलता है, तो C का हिस्सा कितना है?

(a) ₹ 200

(b) ₹ 300

(c) ₹ 400

(d) ₹ 600

Ans:- (c)  

माना C का हिस्सा = x

तब B का हिस्सा = 

तथा A का हिस्सा = 

प्रश्नानुसार,

 

7x = 2800

अतः C का भाग x = 400

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8. ₹ 750 को A, B, C तथा D में इस प्रकार बाँटा जाता है कि B तथा C को मिलाकर जितना मिलता है उतना ही A पाता है। B को C की अपेक्षा ₹ 125 अधिक मिलता है और D को C के बराबर मिलता है। A का अंश क्या है ?

(a) ₹ 100

(b) ₹ 225

(c) ₹ 275

(d) ₹ 325

Ans:- (d) 

 

माना D को प्राप्त राशि = x

तब C को प्राप्त राशि = x 

B को प्राप्त राशि = x + 125

A को प्राप्त राशि = x + (x + 125) = 2x + 125

प्रश्नानुसार,

x + x + x + 125 + 2x + 125 = 750

5x + 150 = 750

5x = 750 - 250

5x = 500

x = 100

अतः A को प्राप्त राशि = 2x + 125 = 2 × 100 + 125 = ₹  325 

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